Program Linier

Posted: March 26, 2011 in Study

PROGRAM LINEAR

Berbagai keputusan dalam manajemen operasi harus memperhitungkan pemakaian sumberdaya perusahaan yang paling efektif.  Sumber daya tersebut bisa berupa perleng-kapan, mesin-mesin perkakas, tenaga kerja, dana, waktu serta material.  Sumber daya terse-but jumlahnya harus dipilih untuk memproduksi suatu barang atau untuk usaha pelayanan.  Penyelesaian permasalahan dengan program linear (linear programming) merupakan salah satu bentuk analisis matematik yang paling banyak digunakan untuk membantu dalam mengalokasikan sumber daya dalam suatu operasi.

Salah satu penerapan linear programming yang kemudian biasa dibahas secara khusus adalah pada pengalokasian sistem transportasi dari beberapa sumber ke beberapa tempat.  Pemilihan kapasitas pengiriman dari suatu sumber pengiriman ke suatu tempat pengiriman dilakukan dengan penyelesaian sistem linear simultan

Sebagai seorang manager. pengetahuan mengenai linear programming dan transportation model sangat penting dikuasai agar pemilihan sumber daya bisa dilakukan untuk tujuan memperoleh keuntungan yang paling besar dengan sumber daya yang seminimal mungkin.  Oleh karena itu, analisis linear programming dan transportasion model merupakan alat bantu dalam pelaksanaan optimisasi sumber daya yang ada.

Dalam buku ini bukan ditulis untuk pembaca yang mendalami matematika tetapi untuk para manager dan calon manager.  Oleh karena itu penjelasan matematik tidak dibahas secara mendalam, penguasaan merancang model matematik dari permasalahan yang diutamakan.  Adapun cara penyelesaian (perhitungan) model sistem persamaan linier simultan yang terlalu matematik (bagi orang yang tidak terlalu menggeluti matematika) akan diganti dengan perangkat lunak Excel-OM [1]).  Pemakaian perangkat lunak sederhana dan bebas bea, akan memudahkan pembaca memahami, serta menggunakannya dalam kenyataan manajemen yang dihadapi.

1.      PERSYARATAN LINEAR PROGRAMMING (LP)

Agar memiliki gambaran awal mengenai permasalahan yang bisa diselesaikan menggunakan linear programming, dibawah ini diberikan beberapa ilustrasi permasalahan:

a. Pengaturan beberapa Bis antar jemput siswa sekolah agar mendapatkan jarak total minimal,

b. Pemilihan jumlah bahan campuran di suatu pabrik kimia agar mendapatkan keuntungan terbesar serta tetap memenuhi standard tertentu,

c. Penentuan sistem distribusi pengiriman yang termurah dari beberapa gudang penyimpanan barang ke beberapa toko penjualan.

Oleh karena linear programming sering disingkat dengan LP, maka untuk selanjutnya singkatan LP akan digunakan dalam Bab ini.

Semua permasalahan LP mempunyai empat persyaratan yang diperlukan agar bisa diperoleh solusi pemecahannya.

Keempat persyaratan tersebut adalah sebagai berikut:

a. Mempunyai Objective function

Permasalahan LP adalah mencari harga maksimal (optimal) atau minimal dari suatu harga perubah (biasanya keuntungan atau harga).  Perubah yang akan dimaksimalkan atau diminimalkan dan didiacu dalam LP merupakan suatu Objective Function.

b. Mempunyai Constraints

Dalam proses optimisasi (memaksimalkan atau meminimalkan) suatu objective function, ada beberapa persyaratan tertentu yang harus dipenuhi.  Persyaratan-persyaratan tersebut yang dikenal sebagai Constraints.  Seringkali constraints tidak mutlak harus mempunyai arti fisik yang berhubungan langsung dengan permasalahan, tetapi bisa juga merupakan persyaratan matematik (misal angkanya harus bilangan bulat positif) yang tidak berhubungan langsung dengan permasalahan.

c. Mempunyai pilihan alternatif proses

Beberapa proses alternatif akan membentuk persamaan linear simultan yang harus memenuhi persyaratan (constraints) tertentu.  Sebagai contoh, suatu pabrik yang menghasilkan tiga produk, pihak manajemen bisa menggunakan LP untuk menentukan sumberdaya terbatas yang dimiliki.

d. Bisa dituliskan dalam persamaan linear simultan

Semua persayaratan diatas bisa diringkas dan ditampilkan dalam bentuk beberapa persamaan linear atau persamaan linear simultan.

2.      PEMODELAN PERSOALAN LINEAR PROGRAMMING

Model LP terdiri dari beberapa Decision Variables, sebuah objective function dan beberapa constraints.  Sebagai langkah awal dalam membuat model LP harus ditentukan Deecision Variables.  Yang dimaksud dengan decision variables disini adalah simbol-simbol matematik yang mewakili banyaknya kegiatan dalam suatu proses operasi.

Sebagai contoh, suatu perusahaan pembuat barang elektronik memproduksi Radio, TV dan VCD-Player.  Jumlah tiap-tiap barang yang diproduksi diberi simbol-simbol X1, X2, dan X3.  Simbol-simbol matematik tersebut mewakili produknya.

X1 = jumlah radio yang diproduksi,

X2 = jumlah TV yang diproduksi, dan

X3 = jumlah VCD-Player yang dihasilkan.

Berdasarkan perubah (decision variables) yang sudah dipilih, semua constraints dan objective function kemudian diekspresikan menggunakan perubah-perubah tersebut.

Untuk objective function, selalu ditulis dalam bentuk maximise atau minimise dari fungsi yang akan di maksimalkan atau dimimalkan.  Sebagai contoh, apabila keuntungan yang diperoleh dari penjualan satu Radio Rp6000, satu TV Rp4000, dan satu VCD-Player Rp2000, maka objective function untuk mencari keuntungan terbesar ditulis

Maximise  6000 X1 + 4000 X2 + 2000 X3 .

Perubah yang sama juga digunakan untuk penulisan constraints.  Constraints dapat berupa pernyataan keterbatasan sumber daya, bisa juga berupa panduan.  Sebagai illustrasi misalnya setiap Radio memerlukan waktu pengerjaan 2 jam sementara untuk TV hanya 1 jam, sedangkan untuk VCD-Player 1.5 jam.  Adapun sumber daya waktu yang tersedia hanya 40 jam kerja.  Dengan demikian constraint nya dituliskan dalam bentuk

2 X1 + 1 X2 + 1.5 X3 £ 40

Selain itu harus pula dipenuhi bahwa X1, X2, dan X3 harus merupakan bilangan bulat (integer) karena produk Radio, TV dan VCD-Player tidak bisa dalam bentuk angka pecahan (real).  Ditulis dengan simbol: X1, X2, X3 bilangan bulat

Dari illustrasi diatas, maka bentuk umum model LP sebagai berikut:

Maximise (or Minimise)

c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn

Subject to:

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ( £ or = or ³) b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ( £ or = or ³) b2

 

 

an1 x1 + an2 x2 + … + ann xn ( £ or = or ³) bn

xi : decision variables,

bi : constraint levels,

ci : objective function coefficients,

aij : constraint coefficients.

 

TEORI PENYELESAIAN LINEAR PROGRAMMING

Metoda penyelesaian LP berikut ini akan memberikan gambaran tentang bagaimana dasar perhitungan untuk kasus sederhana.  Oleh karena buku ini bukan untuk kalangan yang tidak banyak menggeluti persoalan matematika, maka teknik komputasi tidak dibahas dengan detail.  Penyelesaian LP akan diarahkan menggunakan Excel.  Pembaca diharapkan menguasai pemodelan matematiknya dan tidak perlu terlalu memikirkan cara penyelesaiannya secara manual, karena penggunaan perangkat lunak akan lebih mudah dan cepat dan akurat selama pemodelan matemati sudah tepat.

Untuk memudahkan pemahaman LP, diberikan contoh kasus sederhana yang bisa digambarkan secara grafik dan secara komputasi tidak rumit.

Studi Kasus 5-1:

Sebuah perusahaan garmen di Klaten, PT Sarjono, memproduksi baju lengan pendek dan baju lengan panjang.  Perusahan tersebut mempunyai sumber daya utama yaitu penjahitan (bagian jahit) dan pemotongan (bagian pola).  Untuk usaha di bulan depan PT Sarjono mengalokasikan waktu yang disediakan di bagian jahit 240 jam kerja dan di bagian potong 100 jam kerja.

Berdasarkan catatan pekerjaan sebelumnya sudah diperoleh data untuk pembuatan satu pakaian lengan panjang menghabiskan waktu 2 jam pemotongan dan 4 jam penjahitan.  Pembuatan baju lengan pendek memerlukan 1 jam pemotongan dan 3 jam penjahitan.

Data keuntungan setiap baju lengan panjang Rp700 dan lengan pendek Rp500.

PT Sarjono ingin mengetahui jumlah produksi baju (lengan panjang dan lengan pendek) di bulan depan yang menghasilkan keuntungan sebesar-besarnya dengan keterbatasan sumber daya yang tersedia.

 

Penyelesaian Studi Kasus 5-1:

Untuk penyelesaian diatas, terlebih dahulu persoalan dibuat model matematik kemudian diselesaikan persamaan simultannya.  Adapun langkah penyelesaiaannya sebagai berikut:

a. Produk yang dicari harga optimalnya (decision variables) dituliskan dalam simbol matematik terlebih dahulu

X : Jumlah baju lengan panjang yang akan diproduksi,

Y : Jumlah baju lengan pendek yang akan diproduksi.

b. Menuliskan objective function dengan cara memformulasikan yang akan dimaksimalkan atau diminimalkan:

Keuntungan total yang diperoleh PT Sarjono sebesar

700 x baju lengan panjang + 500 x baju lengan pendek

Objective funtion :              Maximise 700 X + 500 Y

c. Menuliskan constraints:

PT Sarjono mempunyai dua keterbatasan sumber daya:

Penjahitan:               4 X + 3 Y £ 240

Pemotongan:           2 X + 1 Y £ 100

Persyaratan lain : Hasil perhitungan harus positif dan angkanya bukan pecahan:

X, Y ³ 0          dan X,Y integer (bilangan bulat)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gbr. 0‑1

Daerah feasible 4 X + 3 Y £ 240; 2 X + 1 Y £ 100; X, Y ³ 0

 

d. Mencari harga optimal objective function di dareah feasible

Salah satu cara termudah untuk mencari harga maksimal dari objective function di daerah feasible adalah dengan melakukan analisis di titik-titik sudut, yang diwakili pada titik A, B,C dan D.

Titik A (X=0, Y=0)             : 700 .0 + 500 . 0 = 0

Titik B (X=50, Y=0)           : 700 . 50 + 500 . 0 = 35000

Titik D (X=0, Y=80)           : 700.0 + 500 . 80 = 40000

Untuk menentukan titik C diperoleh dengan cara menyelesaikan dua persamaan simultan

4 X + 3 Y = 240          (i)

2 X + 1 Y = 100          (ii)

Terlebih dahulu kalikan persamaan (ii) dengan –2, menjadi

4 X + 3 Y = 240

-4 X -2 Y = -200

1 Y = 40

Dengan menggunakan Y =40 akan diperoleh X =30

Titik C (X=30, Y=40)         : 700 . 30 + 500 . 40 = 41000

Dari perbandingan di keempat titik dapat disimpulkan bahwa harga keuntungan terbesar akan diperoleh apabila diproduksi sebanyak 30 pakaian lengan panjang dan 40 pakaian lengan pendek.  Adapun keuntungan maksimal yang diperoleh sebesar Rp 41000,-.

 


[1]). Dibuat oleh Prof. H. Heiss dari Temple University, USA.  Dapat ditemukan di website

http://www.prenhall.com/heizer.  Bisa secara bebas di download dan digunakan.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s